Funciones de escalado
Para qué sirven las funciones de escalado
En el panel de Validación cada índice estadístico contribuye a una puntuación sintética mediante una media ponderada. El problema es que los índices no varían linealmente en significado: pasar de \(R=0{,}90\) a \(R=0{,}95\) es un salto de calidad mucho mayor que de \(0{,}50\) a \(0{,}55\). Una función de escalado remodela la «bondad» del índice antes de ponderarlo, de modo que la puntuación refleje mejor el mérito real.
El cálculo se hace en dos etapas:
- Bruto → bondad \([0,1]\): el índice se orienta y se normaliza (1 = óptimo).
- Bondad → bondad: la función de escalado \(g\) remodela el valor. Con extremos fijos \(g(0)=0\), \(g(1)=1\) el peso sigue siendo el techo de la contribución y la suma de los pesos sigue dando 100.
La función predeterminada es la lineal \(g(x)=x\): mientras no se asigne otra curva, la puntuación es idéntica a la «clásica».
La dependencia de los extremos
Qué curvas tienen sentido para un índice depende de su dominio teórico (mínimo, máximo) y del valor óptimo. Si un extremo está en el infinito no se puede «reescalar linealmente»: hace falta una función asintótica. De ahí las cuatro clases:
| Clase | Cuándo | Variable | Índices típicos |
|---|---|---|---|
| finito | ambos extremos finitos | \(x\in[0,1]\) (bondad ya normalizada) | R, R², Spearman, IOA, POD, CSI, FAR |
| cola | un extremo en \(\infty\), el óptimo en el extremo finito | \(u=|val-target|/s\) | RMSE, MAE, CRMSE, NME, KGE, NSE, HSS |
| dos colas | óptimo interior + al menos un extremo en \(\infty\) | \(d=(val-target)/s\) | MB, NMB, std_ratio |
| saturante | mejor = \(+\infty\) | \(u=val/s\) | MI (información mutua) |
La escala \(s\) de las asintóticas es el error «característico» respecto del cual juzgar el índice. Para los que están en unidades físicas (RMSE, CRMSE, MAE, MB) es la referencia RMSE/MAE elegida en el panel: la mediana observada de la estación en cuestión, o el valor límite de la OMS o de una de las dos directivas europeas. Para los índices porcentuales (NMB, NME, MFB, MFE) es el 100%; para los adimensionales (\(\sigma_m/\sigma_o\), KGE, NSE, HSS, información mutua) es 1. Así \(u=1\) significa «error igual a una escala característica».
La escala de la segunda etapa es la misma que normaliza la primera, y no es un detalle de conveniencia: si difirieran, cambiar la curva de lineal a asintótica cambiaría también el rasero, y las puntuaciones de las dos configuraciones ya no serían comparables. Cambiar la referencia, en cambio, desplaza el rasero de ambas etapas a la vez — y es el motivo por el que el selector actúa sobre toda la columna de las puntuaciones, no solo sobre la lineal.
Familias de funciones (interactivas)
La línea azul es la curva; la diagonal discontinua (donde la hay) es la referencia lineal. Arrastre los deslizadores para ver cómo cambia.
Dominio finito — \(x\in[0,1]\)
Lineal predeterminada
\( g(x)=x \)
Ninguna deformación: comportamiento clásico.
Potencia
\( g(x)=x^{\gamma} \)
\(\gamma>1\) premia solo la excelencia; \(\gamma<1\) valora el «salir del fondo».
Exponencial (énfasis)
\( g(x)=\dfrac{e^{kx}-1}{e^{k}-1} \)
Enfatiza la cima (\(k>0\)) o el fondo (\(k<0\)) de forma marcada.
Logarítmica
\( g(x)=\dfrac{\ln(1+kx)}{\ln(1+k)} \)
Rendimientos decrecientes: premia las primeras mejoras.
Logística (umbral)
\( g(x)=\dfrac{1}{1+e^{-k(x-x_0)}} \)
Curva en S en torno a un umbral \(x_0\): «bueno / no bueno».
Asintóticas de una cola — \(u=|val-target|/s\)
Racional
\( g(u)=\dfrac{1}{1+u} \)
Asíntota en 0, cola lenta: penaliza poco los valores atípicos.
Racional cuadrática
\( g(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} \)
Buen compromiso: \(u=1\Rightarrow 0{,}5\). Recomendada por defecto para los errores.
Exponencial
\( g(u)=e^{-u} \)
Cola rápida: penaliza con fuerza los errores grandes.
Hill
\( g(u)=\dfrac{1}{1+u^{n}} \)
Umbral suave ajustable con \(n\).
Tangente hiperbólica
\( g(u)=1-\tanh(u) \)
Decaimiento abrupto con asíntota en 0.
Exponencial estirada (Kohlrausch)
\( g(u)=e^{-u^{\beta}} \)
Generaliza la exponencial (\(\beta=1\)): \(\beta<1\) alarga la cola, \(\beta>1\) la acorta.
Saturante — \(u=val/s\)
Saturante
\( g(u)=\dfrac{u}{1+u} \)
Crece y satura en 1: para los índices en los que «más grande es mejor» (MI).
Asintóticas de dos colas — \(d=(val-target)/s\)
Gaussiana
\( g(d)=e^{-d^{2}} \)
Campana simétrica, suave cerca del óptimo.
Lorentziana
\( g(d)=\dfrac{1}{1+d^{2}} \)
Como la gaussiana pero con colas más «gruesas».
Secante hiperbólica al cuadrado
\( g(d)=1-\tanh^{2}(d) \)
Campana con colas exponenciales.
Tangente hiperbólica (con signo)
\( g(d)=\tanh(d) \)
Penalización asimétrica. La curva se dibuja en todo \([-1,1]\), pero en la puntuación la bondad vive en \([0,1]\): la rama negativa se anula. Sirve cuando una desviación en un sentido es tolerable y en el otro no (por ejemplo una subestimación que penalizar y una sobrestimación que ignorar), no para llevar un valor con signo a la media ponderada — que, al ser una media de bondades, un negativo la haría no interpretable.
Qué función para qué índice
Directrices (la lineal siempre se admite como predeterminada):
| Índice | Dominio | Funciones adecuadas | Sugerida |
|---|---|---|---|
| R, R², Spearman, IOA | finito | potencia, logística, exponencial | potencia \(\gamma\approx2\) (premia los valores altos) |
| POD, CSI | finito | potencia, logística | logística (umbral operativo) |
| FAR | finito | potencia, logística | potencia |
| RMSE, MAE, CRMSE, NME | cola | racional, racional², exponencial, Hill, \(1-\tanh\) | racional² (\(u=1\Rightarrow0{,}5\)) |
| KGE, NSE, HSS | cola (sobre \(1-val\)) | racional, exponencial | racional² |
| MB, NMB | dos colas | gaussiana, lorentziana, sech² | gaussiana |
| std_ratio | dos colas (óptimo 1) | gaussiana, lorentziana | gaussiana |
| MI | saturante | saturante | \(u/(1+u)\) |
La curva elegida para cada par (contaminante×índice)
se establece en el panel de Validación, en el panel de
los pesos. El detalle técnico (tabla tbl_weight_func, analizador)
está en la Panorámica técnica.
Keywords: funciones de escalado, pesos, índices estadísticos, puntuación, validación